BILANGAN
BULAT
Kita ingat
kembali bilangan cacah yaitu : 0, 1, 2, 3, …. Hasil penjumlahan dua bilangan
cacah adalah bilangan cacah juga. Sedangkan pada operasi pengurangan dua
bilangan cacah akan muncul masalah ketika pengurangnya lebih besar dari yang
dikurangi, sehingga muncullah bilangan
bulat negatif.
Gambaran
lain untuk menunjukkan munculnya bilangan bulat negatif misalnya sbb :
Dalam pengukuran suhu
dengan termometer berskala Celsius, titik didih air adalah 100oC dan
titik beku air adalah 0oC. Untuk suhu di bawah titik beku air maka
skala termometer diperpanjang ke bawah. Suhu
5o Cdi bawah nol ditulis –5o C dan dibaca “lima
Berdasarkan
gambaran di atas kita dapat membuat garis bilangan yang memuat bilangan bulat
negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif, nol,
dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Dalam garis bilangan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol
dan bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol.
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Penjumlahan dan
pengurangan dua bilangan bulat dapat digambarkan dalam cara berjalan pada garis
bilangan berikut ini :
- Mulai berjalan (start) pada
posisi 0 dan menghadap ke kanan
- Berjalan maju untuk menyatakan
bilangan positif dan berjalan mundur untuk menyatakan bilangan negatif
- Tetap di tempat untuk
menyatakan nol
- Arah terus untuk menyatakan operasi
penjumlahan (+).
- Arah berbalik untuk menyatakan operasi
pengurangan (-).
Contoh :
- Untuk menentukan hasil penjumlahan 4 + 3
pada garis bilangan :
Mulai dari 0 menghadap ke kanan.
4 berarti maju 4 langkah
+ berarti terus
3 berarti maju 3 langkah
maka
diperoleh 4 + 3 = 7
- Untuk menentukan hasil pengurangan 5 – (-2)
pada garis bilangan :
Mulai dari 0 menghadap ke kanan.
5 berarti maju 5 langkah
- berarti berbalik arah
-2 berarti mundur 2 langkah
maka diperoleh 5 – (-2) = 7
Berdasarkan
pengalaman di atas dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada
bilangan bulat negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini :
- –a + (-b) = -(a + b)
- –a – (-b) = -a + b
- a
- b = a + (-b)
Latihan
1.Pesawat udara
terbang dari ketinggian –100 m di bawah puncak gunung, kemudian naik sampai 250
m. berapa meterkah pesawat udara itu naik?
2.Isilah persegi
ajaib berikut ini dengan bilangan bulat negatif berurutan mulai dari –9 sampai
dengan –1 sehingga jumlah bilangan dalam tiap baris, kolom, dan diagonal sama.
Perkalian
Bilangan Bulat
Perkalian
dua bilangan bulat mempunyai arti yang sama dengan perkalian dua bilangan
cacah.
3 x 4 berarti ada
tiga empatan, yaitu :
3 x 4 = 4 + 4 + 4
= 12
Dari
contoh di atas kita dapat menentukan perkalian bilangan bulat positif dengan
bilangan bulat negatif berikut ini.
2 x (-4) = (-4) +
(-4)
=
-8
3 x (-5) = (-5) +
(-5) + (-5)
=
-15
Dari
contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat positif
dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
Untuk
menentukan hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
dapat dilihat dari pola berikut ini:
3 x 2 = 6
2 x 2 = 4
1 x 2 = 2
0 x 2 = 0
-1
x 2 = -2
-2
x 2 = -4
-3 x 2 = -6
Perhatikan
pola yang muncul, apabila pengalinya makin berkurang maka hasil kalinya juga
berkurang 2.
Sehingga
dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan
bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif.
Latihan
1.Isilah
daftar di bawah ini! Pada bagian mana dari daftar itu yang sebaiknya diisi?
Pola yang terlihat pada kolom-kolom dan baris-baris hendaknya dipakai sebagai
petunjuk pengisian daftar tersebut.
X
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
-5
|
|||||||||||
-4
|
|||||||||||
-3
|
|||||||||||
-2
|
|||||||||||
-1
|
|||||||||||
0
|
|||||||||||
1
|
|||||||||||
2
|
|||||||||||
3
|
|||||||||||
4
|
|||||||||||
5
|
2.Kesimpulan
apa yang bisa diperoleh untuk a, b bilangan bulat tentang :
- a x
(-b)
- (-a)
x b
- (-a)
x (-b)
3.Adakah
kesimpulan lain yang dapat diperoleh dari pengisian daftar tersebut?
Pembagian
Bilangan Bulat
Untuk
menentukan nilai a pada a x 5 = 20 kita dapat mencari suatu bilangan yang jika
dikalikan 5 hasilnya 20 yaitu 4. Dan jika 20 : 5 maka hasilnya adalah 4 atau 20
: 5 = 4. Jadi pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.
Jadi
a : b = c Û c x b = a
Dari
pengertian tentang pembagian adalah kebalikan dari perkalian kita dapat
menentukan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif berikut ini.
a. -8 : 2 = a Û a x 2 = -8
Pengganti a yang benar adalah –4, sebab –4
x 2 = -8
b. 12 : (-4) = a Û a x (-4) = 12
Pengganti a yang benar adalah -3, sebab -3
x (–4) = 12
Berdasarkan
pengalaman di atas dapat dilakukan operasi pembagian pada bilangan bulat
positif dan negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini :
1.Bilangan
bulat negatif dibagi bilangan bulat positif menghasilkan bilangan
bulat negatif.
2.Bilangan
bulat positif dibagi bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan
bulat negatif.
Tanda
Kurung dalam Operasi Hitung
Dalam menyelesaikan
suatu perhitungan ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu :
a.Tanda
kurung
b.Operasi
hitung
- Tanda kurung biasa, yaitu ( ).
- Tanda kurung kurawal, yaitu
{ }.
- Tanda kurung siku, yaitu [ ].
Ketiga tanda kurung
di atas digunakan untuk menentukan operasi hitung yang perlu didahulukan dalam
suatu perhitungan. Misal akan dihitung {8 + (5 – 2)} maka yang didahulukan adalah
5 – 2 karena adanya tanda kurung ( ).
Jika [10 x {7 – (5 + 4)}] yang harus didahulukan adalah menghitung 7 – (5 + 4)
karena adanya tanda kurung { }.
Latihan
Tentukan urutan dalam
perhitungan berikut ini, kemudian tentukan hasilnya.
1. [8 x {15 : (6 – 3)}]
2. [(-4 + 6) x
{12 : (3 – 5)}]
3. -24 : [72 :
{(6 – 3) x (-2 – 1)}]
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB)
Bahan Diskusi :
Ali dan Budi
mengikuti perkumpulan basket. Ali pertama kali datang latihan pada tanggal 3
Juli 2007 dan hadir setiap 3 hari. Budi bergabung pada tanggal 4 Juli 2007 dan
hadir setiap 4 hari.
1.Tulislah
tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007
2.Tulislah
tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007 ketika :
a.
Ali
hadir
b.
Budi
hadir
3.Tanggal berapa sajakah mereka bersamaan hadir?
4.Tanggal berapakah mereka pertama kali hadir bersamaan?
5.Konsep matematika apa yang dapat dijelaskan dengan konteks di atas?
Cara lain menentukan FPB dan KPK
Salah satu cara
menentukan FPB dan KPK selain cara yang telah dibahas dalam buku paket adalah
sebagai berikut.
1.Tentukan faktor-faktor
prima dari bilangan itu
2.Tentukan faktor
sekutu dari factor prima bilangan itu
3.Bagilah bilangan itu secara terus menerus dengan factor
sekutu dari factor prima bilangan tersebut sampai tidak dapat dibagi lagi oleh
factor sekutu dari factor prima bilangan tersebut. Kemudian tandailah
dengan sebuah garis di bawah hasil-hasil bagi yang ada sebagai garis penentuan
FPB.
4.Bagilah
lagi hasil yang ada di atas tanda garis itu dengan factor prima yang mungkin
dapat membagi dari beberapa bilangan itu. Untuk bilangan yang dapat dibagi
tentukan hasilnya sedangkan untuk bilangan yang tak dapat dibagi tuliskan
bilangannya seperti semula.
5.Lakukan
terus pembagian itu dengan factor prima yang mungkin hingga hasil keseluruhan
pembagiannya sama dengan satu.
6.FPB
merupakan hasil kali dari semua factor prima di atas garis penentuan FPB. KPK
merupakan hasil kali FPB dengan seluruh factor prima di bawah garis penentuan
FPB.
Contoh :
Tentukan FPB dan
KPK dari 300, 350, dan 400
Jawab :
Faktor Prima
|
300
|
350
|
400
|
2
5
5
|
150
30
6
|
175
35
7
|
200
40
8
|
2
3
2
2
7
|
3
1
1
1
1
|
7
7
7
7
1
|
4
4
2
1
1
|
FPB dari 300,
350, dan 400 = 2 x 5 x 5 = 50
KPK dari 300,
350, dan 400 = FPB x 2 x 3 x 2 x 2 x 7
= (50 x 8) x (3 x 7)
=
400 x 21
= 8400
Latihan
Coba tentukan FPB
dan KPK dari :
- 276, 357, 103
- 946, 361, 551
- 398, 299,380
PECAHAN
Bilangan pecahan merupakan bagian dari bilangan rasional
yang dapat dituliskan dalam bentuk 
dengan a, b bilangan bulat dan b ¹ 0. Di sini akan
dibahas bilangan yang berbentuk yang disebut bilangan pecahan dengan “a”
sebagai pembilang dan “b” sebagi penyebut, dengan a dan b bilangan cacah , b ¹ 0, dan b bukan
factor dari a.
dengan a, b bilangan bulat dan b ¹ 0. Di sini akan
dibahas bilangan yang berbentuk yang disebut bilangan pecahan dengan “a”
sebagai pembilang dan “b” sebagi penyebut, dengan a dan b bilangan cacah , b ¹ 0, dan b bukan
factor dari a.
Memodelkan
Pecahan
1.
Pecahan dapat dipandang sebagai bagian dari keseluruhan.
Buatlah persegipanjang yang dibagi menjadi
empat bagian yang sama, kemudian arsirlah satu bagian dari empat bagian
tersebut
- Tulislah
bilangan pecahan yang menyatakan bagian yang diarsir
- Tulislah
bilangan pecahan yang menyatakan bagian yang tidak diarsir.
2.
Pecahan dapat pula dipandang sebagai bagian dari suatu kelompok
Buatlah 7 persegi kemudian arsirlah 4
persegi. Bagian yang diarsir dinyatakan …
Tidak ada komentar:
Posting Komentar