artikel GRUP SIKLIK

GRUP SIKLIK

Definisi (Grup Siklik)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Jika terdapat a∈G sehingga a =G maka G
disebut grup siklik.
Atau suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan
(positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup
tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.
Teorema
Diketahui (G,∗)merupakan grup dan a∈G. Himpunan H={an│n ∈Z}merupakan
subgrup atas G sekaligus subgrup terkecil yang memuat a.

Bukti.
Pertama, akan ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup atas G. Ambil sebarang
ar,as∈H untuk suatu r,s ∈Z . Karena
ar ∗ as = {a ∗ a …. ∗ a}{a ∗ a …. ∗ a}
r kali s kali
= {a ∗ a …. ∗ a}
r+s kali
= ar+s

dan r+s∈Z akibatnya ar∗as∈H. Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong,
karena a1 =a∈H. Diperhatikan juga bahwa a0 = e∈H dan untuk setiap ar ∈H
berlaku a−r ∈H. Jadi, terbukti bahwa H merupakan subgrup atas G.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup terkecil yang memuat a.
Andaikan ada subgrup K atas G yang memuat a. Karena a 1 = a∈H, dan karena a n∈H

untuk setiap n ∈Z berakibat a∈H⊆K untuk setiap subgrup K atas G yang memuat a.
Jadi, H merupakan subgrup terkecil yang memuat a. 􀀬

Definisi (Pembangun)
Diketahui (G,∗) merupakan grup, a∈G, dan H={an│n∈Z}. Elemen a disebut
pembangun grup H dan dinotasikan =H.

Definisi (Grup Siklik)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Jika terdapat a∈G sehingga =G maka G
disebut grup siklik.

Contoh
Diketahui Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat biasa. Grup
Z merupakan grup siklik karena 1 = Z dan −1 = Z .

Definisi (Order)
Diketahui (G,∗)merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka
order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga,
maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .

Contoh
Himpunan Z merupakan grup siklik yang memiliki order tidak berhingga.

Teorema 2.8
Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti.
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari
G, sehingga G ={an | n ∈ Z}.
Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈Z
x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari
G, sehingga G ={na | n ∈ Z}.
Ambil x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈Z
x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Teorema 2.13
Diketahui n ∈Z, maka himpunan G={0, 1,…,n−1}merupakan grup terhadap operasi
∗ yang didefinisikan a∗b =a+b.
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi biner. Pertama, akan ditunjukkan
bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Ambil sebarang a,b ∈G dan
diperhatikan bahwa a+b∈Z . Dengan demikian menurut algoritma pembagian pada Z
diperoleh a+b=qn+r untuk suatu q,r ∈Z dan 0 ≤ r <n. Diperhatikan bahwa
a +b = qn +r ⇔(a +b)−r = qn , dengan kata lain (a+b)∼r sesuai definisi relasi
modulo n. Karena (a+b)∼r, maka a+b∈r dan dengan demikian a+b=r. Jadi
operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan
baik. Untuk sebarang a,b ∈G, berlaku a+b∈Z . Dengan demikian sebarang elemen
pada G dapat dioperasikan, dengan kata lain operasi ∗ merupakan operasi yang
terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner.
Selanjutnya akan ditujukkan bahwa (G,∗) merupakan grup. Jelas bahwa G bukan
merupakan himpunan kosong. Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif.
Untuk sebarang a,b,c ∈G, diperhatikan bahwa:
(a∗b)∗c = a+b∗c
= (a+b)+c
= a+(b+c)
= a∗b+c
= a∗(b∗c)
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen 0 ∈G , maka untuk setiap a∈G akan berlaku:
0∗a= 0+ a
= a
= a+0
= a∗0
Jadi, 0 ∈G merupakan elemen identitas pada G.
Untuk sebarang a∈G dipilih elemen n−a∈G. Karena n ∼ 0 , akibatnya n = 0 dan
diperhatikan bahwa:
0
a ∗ n – a = a + n – a a – n ∗ a = a – n + a
= n dan = n
= 0 = 0
Jadi, setiap elemen a∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu n−a∈G.
Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi ∗ . 􀀬
Untuk selanjutnya G disebut himpunan bilangan bulat modulo n dan dinotasikan dengan Z n .
Lemma 2.14
Grup Z n merupakan grup siklik.
Bukti.
Jika n = 0 , maka {0} n 􀁝 = sehingga 0 n = 􀁝 . Jika n ≠ 0 , maka dapat dipilih 1 n ∈ 􀁝
sehingga 1 n = 􀁝 . 􀀬
Teorema 2.15
Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.
Bukti.
Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G. Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik. Jika H = {e}, jelas bahwa e = H sehingga H merupakan grup siklik. Jika H ≠ {e}, maka  H dengan x ≠ e . Karena H merupakan subgrup dari G,Îterdapat elemen x   Z+ . Pilih bilanganÎ  H untuk suatu nÎ  G dan berakibat x=anÎmaka x   H.Î Z+ sebagai bilangan yang terkecil sehingga am Î m
 H dan karena HÎAkan ditunjukkan bahwa am =H. Diambil sebarang y   H untuk suatuÎ G dan berakibat y =ak Îmerupakan subgrup dari G, maka x   Z+ . Diperhatikan bahwa mÎk  ≤ z dan dari algoritma pembagian pada Z diperoleh k = mq+r untuk suatu q,r  Z dan 0 ≤Î r < m. Dengan demikian diperoleh:
ak = amq+r=amqar
dan
ar = (am)- qaz
 HÎ  Hdan H merupakan grup, akibatnya (am)-qÎ Karena am,ak dan (am)-qak  H . Dengan demikian diperoleh (ar)=(am)- qazΠ HÎ . Karena m  H dan karena 0 ≤ rÎmerupakan bilangan yang terkecil sehingga am  <m, dengan kata lain r = 0 sehingga
ar =a0 = e dan diperoleh:
az=amq+r= amq .
Jadi, karena untuk sebarang y ∈H berlaku (y) = am q , maka =H dan dengan kata lain H merupakan grup siklik. 􀀬

Contoh 2.16
Diketahui Z 6 ={0,1,2,3,4,5}dan misalkan H merupakan subgrup dari Z 6 . Menurut
teorema 2.15 berakibat H= , untuk suatu a ∈Z6 . Diperhatikan bahwa:
a. Jika a = 0 , maka = {0}.
b. Jika a = 1 , maka = 0,1, 2, 3, 4,5 = Z 6 .
c. Jika a = 2 , maka = {0, 2, 4}.
d. Jika a = 3 , maka = {0,3}.
e. Jika a = 4 , maka ={0,4,2}= .
f. Jika a = 5 , maka = {0, 5, 4, 3, 2,1} = = Z 6 .
Jadi, subgrup-subgrup dari Z 6 adalah {0}, {0, 2, 4}, {0, 3}, dan Z 6 itu sendiri.
ISOMORFISMA
Definisi Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku
(xy)f = ( xf ) ( yf )
Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf.
Teorema 1 : Jika f : G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’ , dan e adalah identitas dari G , maka ef identitas dari G’ . dan juga a-1 f = (af )-1 untuk semua a ∈ G.
Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf
Langkah 1 Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’ .
Langkah 2 Tunjukkan f satu-satu
Langkah 3 Tunjukkan f pada
Langkah 4 Tunjukkan (xy)f = ( xf ) ( yf ) untuk semua x y ∈ G
Teorema 2 : Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Bukti. Misalkan mempunyai pembangun dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya. Jadi

Sudah kita tunjukkan pada kasus satu pada subbab 7.2 bahwa pada grup siklik tak hingga, elemen semuanya berbeda, yang berarti bilamana .
LANGKAH 1 Definisikan dengan untuk semua .
LANGKAH 2 Jika , maka dan akibatnya . Jadi satu-satu.
LANGKAH 3 Untuk sebarang , elemen dipetakan oleh menjadi . Sehingga bersifat pada
LANGKAH 4 Sekarang (Catat bahwa operasi disini adalah operasi di grup saja). Kemudian kita hitung (Catat bahwa ini adalah operasi di ).Tapi , sehingga . QED

Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu dan pada dari G ke G’ dengan sifat (xy)f = ( xf ) ( yf ). Tidak mudah mengecek grup yang anggotanya tak hingga, tetapi untuk yang berhingga, mudah di cek kedua grup tidak sama anggotanya.
Contoh : Z terhadap operasi jumlah tidak isomorf dengan R, karena tidak ada pemetaan satu-satu dan pada dari R ke Z.
Struktur dari sebuah Grup, mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut contoh struktur dan non-struktur dari suatu grup.
Struktur Non- Struktur
1. Grupnya siklik 1. grup memuat 5
2. Komutatif 2. Semua elemen grup adalah angka
3. order yang sama 3. Subgrup dari grup lain
Contoh : kita tidak bisa mengatakan bahwa grup Z dan 3Z atas operasi jumlah tidak isomorf dengan mengatakan 11 ∈ Z dan 11 ∉ 3Z. itu bukan struktur dari uatu grup.
Teorema Cayley
Setiap Grup isomorf pada suatu grup permutasi
Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai berikut.
Langkah 1. Temukan him. G’ dari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membentuk grup dn akan isomorf dengan G.
Langkah 2. Buktikan G’ adalah grup terhadap operasi kali permutasi
Langkah 3. Definisikan pemetaan f: G à G’ , dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.

artikel bilangan bulat

BILANGAN BULAT

Kita ingat kembali bilangan cacah yaitu : 0, 1, 2, 3, …. Hasil penjumlahan dua bilangan cacah adalah bilangan cacah juga. Sedangkan pada operasi pengurangan dua bilangan cacah akan muncul masalah ketika pengurangnya lebih besar dari yang dikurangi, sehingga muncullah bilangan bulat negatif.

Gambaran lain untuk menunjukkan munculnya bilangan bulat negatif misalnya sbb :

Dalam pengukuran suhu dengan termometer berskala Celsius, titik didih air adalah 100^oC dan titik beku air adalah 0^oC. Untuk suhu di bawah titik beku air maka skala termometer diperpanjang ke bawah. Suhu  5^o Cdi bawah nol ditulis –5^o C dan dibaca “lima derajat Celsius di bawah nol”. Untuk suhu di atas nol ditulis tanpa tanda +, sehingga suhu 32^o di atas nol cukup ditulis 32^o C.

Berdasarkan gambaran di atas kita dapat membuat garis bilangan yang memuat bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif, nol, dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Dalam garis bilangan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol dan bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol.

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Penjumlahan dan pengurangan dua bilangan bulat dapat digambarkan dalam cara berjalan pada garis bilangan berikut ini :

1. Mulai berjalan (start) pada posisi 0 dan menghadap ke kanan
2. Berjalan maju untuk menyatakan bilangan positif dan berjalan mundur untuk menyatakan bilangan negatif
3. Tetap di tempat untuk menyatakan nol
4. Arah terus untuk menyatakan operasi penjumlahan (+).
5. Arah berbalik untuk menyatakan operasi pengurangan (-).

Contoh :

1. Untuk menentukan hasil penjumlahan  4 + 3  pada garis bilangan :

Mulai dari 0 menghadap ke kanan.

4 berarti maju 4 langkah

+ berarti terus

3 berarti maju 3 langkah

maka diperoleh  4 + 3 = 7

2. Untuk menentukan hasil pengurangan  5 – (-2)  pada garis bilangan :

Mulai dari 0 menghadap ke kanan.

5 berarti maju 5 langkah

- berarti berbalik arah

            -2 berarti mundur 2 langkah

            maka diperoleh 5 – (-2) = 7

Berdasarkan pengalaman di atas dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini :

1. –a + (-b) = -(a + b)
2. –a – (-b) = -a + b
3.  a - b = a + (-b)

Latihan

1.Pesawat udara terbang dari ketinggian –100 m di bawah puncak gunung, kemudian naik sampai 250 m. berapa meterkah pesawat udara itu naik?

2.Isilah persegi ajaib berikut ini dengan bilangan bulat negatif berurutan mulai dari –9 sampai dengan –1 sehingga jumlah bilangan dalam tiap baris, kolom, dan diagonal sama.

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian dua bilangan bulat mempunyai arti yang sama dengan perkalian dua bilangan cacah.

3 x 4 berarti ada tiga empatan, yaitu :

3 x 4 = 4 + 4 + 4

                     = 12

Dari contoh di atas kita dapat menentukan perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif berikut ini.

2 x (-4) = (-4) + (-4)

                        = -8

3 x (-5) = (-5) + (-5) + (-5)

                        = -15

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

Untuk menentukan hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif dapat dilihat dari pola berikut ini:

  3 x 2 = 6

  2 x 2 = 4

  1 x 2 = 2

  0 x 2 = 0

            -1 x 2 = -2

            -2 x 2 = -4

-3 x 2 = -6

Perhatikan pola yang muncul, apabila pengalinya makin berkurang maka hasil kalinya juga berkurang 2.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif.

Latihan

1.Isilah daftar di bawah ini! Pada bagian mana dari daftar itu yang sebaiknya diisi? Pola yang terlihat pada kolom-kolom dan baris-baris hendaknya dipakai sebagai petunjuk pengisian daftar tersebut.

X	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5

2.Kesimpulan apa yang bisa diperoleh untuk a, b bilangan bulat tentang :

1. a x (-b)
2. (-a) x b
3. (-a) x (-b)

3.Adakah kesimpulan lain yang dapat diperoleh dari pengisian daftar tersebut?

Pembagian Bilangan Bulat

Untuk menentukan nilai a pada a x 5 = 20 kita dapat mencari suatu bilangan yang jika dikalikan 5 hasilnya 20 yaitu 4. Dan jika 20 : 5 maka hasilnya adalah 4 atau 20 : 5 = 4. Jadi pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.

Jadi      a : b = c Û c x b = a

Dari pengertian tentang pembagian adalah kebalikan dari perkalian kita dapat menentukan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif  berikut ini.

a. -8 : 2 = a Û a x 2 = -8

    Pengganti a yang benar adalah –4, sebab –4 x 2 = -8

b. 12 : (-4) = a Û a x (-4) = 12

    Pengganti a yang benar adalah -3, sebab -3 x (–4) = 12

Berdasarkan pengalaman di atas dapat dilakukan operasi pembagian pada bilangan bulat positif dan negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini :

1.Bilangan bulat negatif dibagi bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif.

2.Bilangan bulat positif dibagi bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif.

Tanda Kurung dalam Operasi Hitung

Dalam menyelesaikan suatu perhitungan ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu :

a.Tanda kurung

b.Operasi hitung

Ada tiga macam tanda kurung dalam suatu perhitungan, yaitu:

1. Tanda kurung biasa, yaitu (  ).
2. Tanda kurung kurawal, yaitu {  }.
3. Tanda kurung siku, yaitu [  ].

Ketiga tanda kurung di atas digunakan untuk menentukan operasi hitung yang perlu didahulukan dalam suatu perhitungan. Misal akan dihitung {8 + (5 – 2)} maka yang didahulukan adalah 5 – 2 karena adanya tanda kurung (  ). Jika [10 x {7 – (5 + 4)}] yang harus didahulukan adalah menghitung 7 – (5 + 4) karena adanya tanda kurung {  }.

Latihan

Tentukan urutan dalam perhitungan berikut ini, kemudian tentukan hasilnya.

1.  [8 x {15 : (6 – 3)}]

2. [(-4 + 6) x {12 : (3 – 5)}]

3. -24 : [72 : {(6 – 3) x (-2 – 1)}]

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Bahan Diskusi :

Ali dan Budi mengikuti perkumpulan basket. Ali pertama kali datang latihan pada tanggal 3 Juli 2007 dan hadir setiap 3 hari. Budi bergabung pada tanggal 4 Juli 2007 dan hadir setiap 4 hari.

1.Tulislah tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007

2.Tulislah tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007 ketika :

a.     Ali hadir

b.     Budi hadir

3.Tanggal berapa sajakah mereka bersamaan hadir?

4.Tanggal berapakah mereka pertama kali hadir bersamaan?

5.Konsep matematika apa yang dapat dijelaskan dengan konteks di atas?

Cara lain menentukan FPB dan KPK

Salah satu cara menentukan FPB dan KPK selain cara yang telah dibahas dalam buku paket adalah sebagai berikut.

1.Tentukan faktor-faktor prima dari bilangan itu

2.Tentukan faktor sekutu dari factor prima bilangan itu

3.Bagilah bilangan itu secara terus menerus dengan factor sekutu dari factor prima bilangan tersebut sampai tidak dapat dibagi lagi oleh factor sekutu dari factor prima bilangan tersebut. Kemudian tandailah dengan sebuah garis di bawah hasil-hasil bagi yang ada sebagai garis penentuan FPB.

4.Bagilah lagi hasil yang ada di atas tanda garis itu dengan factor prima yang mungkin dapat membagi dari beberapa bilangan itu. Untuk bilangan yang dapat dibagi tentukan hasilnya sedangkan untuk bilangan yang tak dapat dibagi tuliskan bilangannya seperti semula.

5.Lakukan terus pembagian itu dengan factor prima yang mungkin hingga hasil keseluruhan pembagiannya sama dengan satu.

6.FPB merupakan hasil kali dari semua factor prima di atas garis penentuan FPB. KPK merupakan hasil kali FPB dengan seluruh factor prima di bawah garis penentuan FPB.

Contoh :

Tentukan FPB dan KPK dari 300, 350, dan 400

Jawab :

                       

Faktor Prima	300	350	400
2 5 5	150 30 6	175 35 7	200 40 8
2 3 2 2 7	3 1 1 1 1	7 7 7 7 1	4 4 2 1 1

FPB dari 300, 350, dan 400 = 2 x 5 x 5 = 50

KPK dari 300, 350, dan 400 = FPB x 2 x 3 x 2 x 2 x 7

                                             = (50 x 8) x (3 x 7)

                                             =  400 x 21

                                             = 8400

Latihan

Coba tentukan FPB dan KPK dari :

1. 276, 357, 103
2. 946, 361, 551
3. 398, 299,380

PECAHAN

Bilangan pecahan merupakan bagian dari bilangan rasional yang dapat dituliskan dalam bentuk  dengan a, b bilangan bulat dan b ¹ 0. Di sini akan dibahas bilangan yang berbentuk  yang disebut bilangan pecahan dengan “a” sebagai pembilang dan “b” sebagi penyebut, dengan a dan b bilangan cacah , b ¹ 0, dan b bukan factor dari a.

Memodelkan Pecahan

1. Pecahan dapat dipandang sebagai bagian dari keseluruhan.

    Buatlah persegipanjang yang dibagi menjadi empat bagian yang sama, kemudian arsirlah satu bagian dari empat bagian tersebut

1. Tulislah bilangan pecahan yang menyatakan bagian yang diarsir
2. Tulislah bilangan pecahan yang menyatakan bagian yang tidak diarsir.

2. Pecahan dapat pula dipandang sebagai bagian dari suatu kelompok

Buatlah 7 persegi kemudian arsirlah 4 persegi. Bagian yang diarsir dinyatakan …