artikel GRUP SIKLIK

GRUP SIKLIK

Definisi (Grup Siklik)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Jika terdapat a∈G sehingga a =G maka G
disebut grup siklik.
Atau suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan
(positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup
tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.
Teorema
Diketahui (G,∗)merupakan grup dan a∈G. Himpunan H={an│n ∈Z}merupakan
subgrup atas G sekaligus subgrup terkecil yang memuat a.

Bukti.
Pertama, akan ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup atas G. Ambil sebarang
ar,as∈H untuk suatu r,s ∈Z . Karena
ar ∗ as = {a ∗ a …. ∗ a}{a ∗ a …. ∗ a}
r kali s kali
= {a ∗ a …. ∗ a}
r+s kali
= ar+s

dan r+s∈Z akibatnya ar∗as∈H. Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong,
karena a1 =a∈H. Diperhatikan juga bahwa a0 = e∈H dan untuk setiap ar ∈H
berlaku a−r ∈H. Jadi, terbukti bahwa H merupakan subgrup atas G.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup terkecil yang memuat a.
Andaikan ada subgrup K atas G yang memuat a. Karena a 1 = a∈H, dan karena a n∈H

untuk setiap n ∈Z berakibat a∈H⊆K untuk setiap subgrup K atas G yang memuat a.
Jadi, H merupakan subgrup terkecil yang memuat a. 􀀬

Definisi (Pembangun)
Diketahui (G,∗) merupakan grup, a∈G, dan H={an│n∈Z}. Elemen a disebut
pembangun grup H dan dinotasikan =H.

Definisi (Grup Siklik)
Diketahui (G,∗) merupakan grup. Jika terdapat a∈G sehingga =G maka G
disebut grup siklik.

Contoh
Diketahui Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat biasa. Grup
Z merupakan grup siklik karena 1 = Z dan −1 = Z .

Definisi (Order)
Diketahui (G,∗)merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka
order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga,
maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan G .

Contoh
Himpunan Z merupakan grup siklik yang memiliki order tidak berhingga.

Teorema 2.8
Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti.
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari
G, sehingga G ={an | n ∈ Z}.
Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈Z
x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari
G, sehingga G ={na | n ∈ Z}.
Ambil x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈Z
x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Teorema 2.13
Diketahui n ∈Z, maka himpunan G={0, 1,…,n−1}merupakan grup terhadap operasi
∗ yang didefinisikan a∗b =a+b.
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi biner. Pertama, akan ditunjukkan
bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Ambil sebarang a,b ∈G dan
diperhatikan bahwa a+b∈Z . Dengan demikian menurut algoritma pembagian pada Z
diperoleh a+b=qn+r untuk suatu q,r ∈Z dan 0 ≤ r <n. Diperhatikan bahwa
a +b = qn +r ⇔(a +b)−r = qn , dengan kata lain (a+b)∼r sesuai definisi relasi
modulo n. Karena (a+b)∼r, maka a+b∈r dan dengan demikian a+b=r. Jadi
operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan
baik. Untuk sebarang a,b ∈G, berlaku a+b∈Z . Dengan demikian sebarang elemen
pada G dapat dioperasikan, dengan kata lain operasi ∗ merupakan operasi yang
terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner.
Selanjutnya akan ditujukkan bahwa (G,∗) merupakan grup. Jelas bahwa G bukan
merupakan himpunan kosong. Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif.
Untuk sebarang a,b,c ∈G, diperhatikan bahwa:
(a∗b)∗c = a+b∗c
= (a+b)+c
= a+(b+c)
= a∗b+c
= a∗(b∗c)
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen 0 ∈G , maka untuk setiap a∈G akan berlaku:
0∗a= 0+ a
= a
= a+0
= a∗0
Jadi, 0 ∈G merupakan elemen identitas pada G.
Untuk sebarang a∈G dipilih elemen n−a∈G. Karena n ∼ 0 , akibatnya n = 0 dan
diperhatikan bahwa:
0
a ∗ n – a = a + n – a a – n ∗ a = a – n + a
= n dan = n
= 0 = 0
Jadi, setiap elemen a∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu n−a∈G.
Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi ∗ . 􀀬
Untuk selanjutnya G disebut himpunan bilangan bulat modulo n dan dinotasikan dengan Z n .
Lemma 2.14
Grup Z n merupakan grup siklik.
Bukti.
Jika n = 0 , maka {0} n 􀁝 = sehingga 0 n = 􀁝 . Jika n ≠ 0 , maka dapat dipilih 1 n ∈ 􀁝
sehingga 1 n = 􀁝 . 􀀬
Teorema 2.15
Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.
Bukti.
Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G. Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik. Jika H = {e}, jelas bahwa e = H sehingga H merupakan grup siklik. Jika H ≠ {e}, maka  H dengan x ≠ e . Karena H merupakan subgrup dari G,Îterdapat elemen x   Z+ . Pilih bilanganÎ  H untuk suatu nÎ  G dan berakibat x=anÎmaka x   H.Î Z+ sebagai bilangan yang terkecil sehingga am Î m
 H dan karena HÎAkan ditunjukkan bahwa am =H. Diambil sebarang y   H untuk suatuÎ G dan berakibat y =ak Îmerupakan subgrup dari G, maka x   Z+ . Diperhatikan bahwa mÎk  ≤ z dan dari algoritma pembagian pada Z diperoleh k = mq+r untuk suatu q,r  Z dan 0 ≤Î r < m. Dengan demikian diperoleh:
ak = amq+r=amqar
dan
ar = (am)- qaz
 HÎ  Hdan H merupakan grup, akibatnya (am)-qÎ Karena am,ak dan (am)-qak  H . Dengan demikian diperoleh (ar)=(am)- qazΠ HÎ . Karena m  H dan karena 0 ≤ rÎmerupakan bilangan yang terkecil sehingga am  <m, dengan kata lain r = 0 sehingga
ar =a0 = e dan diperoleh:
az=amq+r= amq .
Jadi, karena untuk sebarang y ∈H berlaku (y) = am q , maka =H dan dengan kata lain H merupakan grup siklik. 􀀬

Contoh 2.16
Diketahui Z 6 ={0,1,2,3,4,5}dan misalkan H merupakan subgrup dari Z 6 . Menurut
teorema 2.15 berakibat H= , untuk suatu a ∈Z6 . Diperhatikan bahwa:
a. Jika a = 0 , maka = {0}.
b. Jika a = 1 , maka = 0,1, 2, 3, 4,5 = Z 6 .
c. Jika a = 2 , maka = {0, 2, 4}.
d. Jika a = 3 , maka = {0,3}.
e. Jika a = 4 , maka ={0,4,2}= .
f. Jika a = 5 , maka = {0, 5, 4, 3, 2,1} = = Z 6 .
Jadi, subgrup-subgrup dari Z 6 adalah {0}, {0, 2, 4}, {0, 3}, dan Z 6 itu sendiri.
ISOMORFISMA
Definisi Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku
(xy)f = ( xf ) ( yf )
Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf.
Teorema 1 : Jika f : G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’ , dan e adalah identitas dari G , maka ef identitas dari G’ . dan juga a-1 f = (af )-1 untuk semua a ∈ G.
Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf
Langkah 1 Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’ .
Langkah 2 Tunjukkan f satu-satu
Langkah 3 Tunjukkan f pada
Langkah 4 Tunjukkan (xy)f = ( xf ) ( yf ) untuk semua x y ∈ G
Teorema 2 : Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan , grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Bukti. Misalkan mempunyai pembangun dan kita gunakan notasi perkalian untuk operasinya. Jadi

Sudah kita tunjukkan pada kasus satu pada subbab 7.2 bahwa pada grup siklik tak hingga, elemen semuanya berbeda, yang berarti bilamana .
LANGKAH 1 Definisikan dengan untuk semua .
LANGKAH 2 Jika , maka dan akibatnya . Jadi satu-satu.
LANGKAH 3 Untuk sebarang , elemen dipetakan oleh menjadi . Sehingga bersifat pada
LANGKAH 4 Sekarang (Catat bahwa operasi disini adalah operasi di grup saja). Kemudian kita hitung (Catat bahwa ini adalah operasi di ).Tapi , sehingga . QED

Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu dan pada dari G ke G’ dengan sifat (xy)f = ( xf ) ( yf ). Tidak mudah mengecek grup yang anggotanya tak hingga, tetapi untuk yang berhingga, mudah di cek kedua grup tidak sama anggotanya.
Contoh : Z terhadap operasi jumlah tidak isomorf dengan R, karena tidak ada pemetaan satu-satu dan pada dari R ke Z.
Struktur dari sebuah Grup, mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut contoh struktur dan non-struktur dari suatu grup.
Struktur Non- Struktur
1. Grupnya siklik 1. grup memuat 5
2. Komutatif 2. Semua elemen grup adalah angka
3. order yang sama 3. Subgrup dari grup lain
Contoh : kita tidak bisa mengatakan bahwa grup Z dan 3Z atas operasi jumlah tidak isomorf dengan mengatakan 11 ∈ Z dan 11 ∉ 3Z. itu bukan struktur dari uatu grup.
Teorema Cayley
Setiap Grup isomorf pada suatu grup permutasi
Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai berikut.
Langkah 1. Temukan him. G’ dari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membentuk grup dn akan isomorf dengan G.
Langkah 2. Buktikan G’ adalah grup terhadap operasi kali permutasi
Langkah 3. Definisikan pemetaan f: G à G’ , dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.