bilangan real

 artikel BILANGAN REAL

 31 januari 2016

1Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai Himpunan Bilangan Real.

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang mempunyai bermacam-macam sifat dan bentuk bilangan.

SISTEM BILANGAN REAL

Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep Himpunan (sets) Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a e S dan dibaca “a elemen S“. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S“.

Himpunan dapat disajikan dengan 2 cara. Pertama, dengan menuliskan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A merupakan anggota B.

Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah

Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap .

Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah dan p. Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1

Sedangkan bilangan p merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

1.      berhenti (), atau

2.      berulang beraturan ().

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

A. Macam-macam bilangan real

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk

membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…

A = {1,2,3,4,…}

2. Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA

G = {2,4,6,8,…}

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA

Gj = {1,3,5,7,…}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan

hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,…}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh

bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,…}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,…}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan

bilangan bulat positif.

B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,

dengan a dan b ÎB serta b ≠0

Contoh:

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat

dengan himpunan bilangan pecahan)

Contoh:

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.

Contoh:  π = 3,14159…, e = 2,71828….

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan

dengan sebuah garis bilangan.

Contoh:

                                                -1         -2         -3         0          1          2          3          4

12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa

dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh:

13. Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

dan khayal.

Contoh: 2 +

B. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

a. Sifat Komutatif:

a + b = b + a

a.b = b.a

Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9 . 3  = 3 . 9  = 27

b. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac

Contoh:

5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45

d. Terdapat Dua Elemen Identitas

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,

sehingga memenuhi:

a + 0 = a

a . 1 = a

e. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –

a yang memenuhi:

a + (-a) = 0

Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.

3.  Keimpulan

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

a.       Sifat-sifat aljabar

Sifat-sifat urutan

c.   Sifat-sifat kelengkapan

3.